Un pavage est un recouvrement d'une surface, ici le plan euclidien R^2 , par
des tuiles dont les intérieurs ne se chevauchent pas.
Les pavages par losanges, lorsqu'ils ont un nombre fini n de directions d'arêtes,
peuvent être relevés en tant que surface discrète dans R^n en choisissant une ori-
gine et en associant à chaque direction d'arête un vecteur de la base canonique.
Ces surfaces discrètes dans R^n sont constituées de carrés unitaires et lorsqu'une
telle surface approxime un plan de R^n , c'est à dire qu'elle en reste à distance
bornée, on l'appelle plan discret. Un pavage dont le relevé est un plan discret
est appelé planaire.
Une substitution est une application qui à chaque tuile associe un motif ou
ensemble fini de tuiles appelé métatuile, qui en général a la même forme que la
tuile initiale.
Dans cet exposé je vais vous présenter deux résultats :
1. Les pavages Sub Rosa définis par Kari et Rissanen ne sont pas planaires.
2. Pour tout entier n il existe un pavage planaire et substitutif avec symétrie
rotationnelle d'ordre n.
J'introduirai les éléments clés pour manipuler les plans discrets substitutifs et
pour obtenir ces résultats.